ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال

مطالعه ی تطبیقی مورفولوژی بافت های قدیم و جدید شهری بر اساس مدل فراکتالی (مطالعه ی موردی: محلات منتخب از بافت قدیم و جدید شهر زنجان) مقاله

شهرها پدیده های پیچیده ای هستند. یکی از روش هایی که در طول دو دهة اخیر به عنـوان ابـزاری کارآمـد در شناخت پیچیدگی مورفولوژیکی شهرها در کتاب ها و نشریات مختلف بدان اشـاره و پرداختـه شـده اسـت ، مـدل فراکتالی می باشد. این مدل که به وسیلة بنوئیت مندلبروت ارائه گردید، ابزاری موثر در مطالعة مورفولوژی شـهرها است . بنابراین در این مقاله به معرفی این مدل و نقش آن در مطالعة تطبیقی بافـت قـدیم و جدیـد شـهر زنجـان پرداخته شده است . برای این منظور، از دو برنامة نرم افزاری استفاده گردید. از نرم افزار Excel در انجام محاسبات ابعاد فراکتالی بهره گرفته شد و نرم افزار ArcMAP نیز به منظور تولید نقشه هـای فراکتـالی مـورد اسـتفاده قـرار گرفت تا تصویری مجسم از عرصة تحقیق و ویژگی های آن ارائه گردد. روش تحقیق این مقاله ، تحلیلی و مقایسه - ای بوده و اطلاعات مورد نیاز، از روش های اسنادی (کتابخانه ای ) و اطلاعات نقشه های طرح تفصیلی شهر زنجان به دست آمده است . یافته های پژوهش مبین آن بود که مدل فراکتالی ، ابزاری واقعی و دقیق در شناخت فرم شـهرها است و همچنین نتایج حاصل از تحقیق نشان داد که بافت قدیم شهر زنجان در قیاس با بافت جدید آن ، فراکتال تر می باشد.

خلاصه ماشینی:

در واقع ، کاربست الگوی هندسی و شطرنجی ساخت و ساز در بخش های جدید شهرها، شهرتاب آور و بوم گرای گذشته را بی تاب کرده و به بروز مشکلات عدیده ای دامن زده است ؛ بنابراین ، پژوهش حاضر با این هدف به رشتة تحریر درآمد که با تبیین ویژگی های مثبت و منحصر به فرد بافت کهن شهر زنجان (از نظر مدل فراکتالی )، تلنگری بر اذهان و ضمایر روشن اندیش مسئولان و ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال دست اندرکاران مسائل شهری کشور باشد تا با توجه بیش از پیش به این بخش از شهرهای کشور، بار دیگر رشد درون زای شهرها تجلی یافته و از رشد و توسعة برون زای آن ها جلوگیری شود؛ بر این اساس ، در این پژوهش ، به بررسی و مطالعة تطبیقی محلات قدیم (محلات حق وردی ، شوقی ، دگرمان ارخی و هفت بوروخ ) و جدید (محلات و کوی های لاله ، کوچه مشکی ، بهارستان ) شهر زنجان بر اساس مدل فراکتالی پرداخته شده است . جدول ٤– ابعاد، اندازه و تعداد خانه های حاصل از شبکه بندی قالب کلی (به تصویر صفحه مراجعه شود) روی هم گذاری دو به دوی مش ها چون هدف از انجام این پژوهش بررسی میزان فراکتالیته بودن محلات و کوی های مورد مطالعه و قیاس محلات جدید و قدیم شهر از نظر این شاخص (مدل فرکتال ) می باشد.

کلیدواژه ها:

کلید واژه های ماشینی:

فراکتال ، شهر ، محلات ، مش ، بافت قدیم و جدید ، اساس مدل فراکتالی ، اطلاعات ، جدید شهر زنجان ، مدل فراکتال ، محاسبة بعد خودمتشابهی محلات

مطالعه ی تطبیقی مورفولوژی بافت های قدیم و جدید شهری بر اساس مدل فراکتالی (مطالعه ی موردی: محلات منتخب از بافت قدیم و جدید شهر زنجان) مقاله

شهرها پدیده های پیچیده ای هستند. یکی از روش هایی که در طول دو دهة اخیر به عنـوان ابـزاری کارآمـد در شناخت پیچیدگی مورفولوژیکی شهرها در کتاب ها و نشریات مختلف بدان اشـاره و پرداختـه شـده اسـت ، مـدل فراکتالی می باشد. این مدل که به وسیلة بنوئیت مندلبروت ارائه گردید، ابزاری موثر در مطالعة مورفولوژی شـهرها است . بنابراین در این مقاله به معرفی این مدل و ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال نقش آن در مطالعة تطبیقی بافـت قـدیم و جدیـد شـهر زنجـان پرداخته شده است . برای این منظور، از دو برنامة نرم افزاری استفاده گردید. از نرم افزار Excel در انجام محاسبات ابعاد فراکتالی بهره گرفته شد و نرم افزار ArcMAP نیز به منظور تولید نقشه هـای فراکتـالی مـورد اسـتفاده قـرار گرفت تا تصویری مجسم از عرصة تحقیق و ویژگی های آن ارائه گردد. روش تحقیق این مقاله ، تحلیلی و مقایسه - ای بوده و اطلاعات مورد نیاز، از روش های اسنادی (کتابخانه ای ) و اطلاعات نقشه های طرح تفصیلی شهر زنجان به دست آمده است . یافته های پژوهش مبین آن بود که مدل فراکتالی ، ابزاری واقعی و دقیق در شناخت فرم شـهرها است و همچنین نتایج حاصل از تحقیق نشان داد که بافت قدیم شهر زنجان در قیاس با بافت جدید آن ، فراکتال تر می باشد.

خلاصه ماشینی:

در واقع ، کاربست الگوی هندسی و شطرنجی ساخت و ساز در بخش های جدید شهرها، شهرتاب آور و بوم گرای گذشته را بی تاب کرده و به بروز مشکلات عدیده ای دامن زده است ؛ بنابراین ، پژوهش حاضر با این هدف به رشتة تحریر درآمد که با تبیین ویژگی های مثبت و منحصر به فرد بافت کهن شهر زنجان (از نظر مدل فراکتالی )، تلنگری بر اذهان و ضمایر روشن اندیش مسئولان و دست اندرکاران مسائل شهری کشور باشد تا با توجه بیش از پیش به این بخش از شهرهای کشور، بار دیگر رشد درون زای شهرها تجلی یافته و از رشد و توسعة برون زای آن ها جلوگیری شود؛ بر این اساس ، در این پژوهش ، به بررسی و مطالعة تطبیقی محلات قدیم (محلات حق وردی ، شوقی ، دگرمان ارخی و هفت بوروخ ) و جدید (محلات و کوی های لاله ، کوچه مشکی ، بهارستان ) شهر زنجان بر اساس مدل فراکتالی پرداخته شده است . جدول ٤– ابعاد، اندازه و تعداد خانه های حاصل از شبکه بندی قالب کلی (به تصویر صفحه مراجعه شود) روی هم گذاری دو به دوی مش ها چون هدف از انجام این پژوهش بررسی میزان فراکتالیته بودن محلات و کوی های مورد مطالعه و قیاس محلات جدید و قدیم شهر از نظر این شاخص (مدل فرکتال ) می باشد.

کلیدواژه ها:

کلید واژه های ماشینی:

فراکتال ، شهر ، محلات ، مش ، بافت قدیم و جدید ، اساس مدل فراکتالی ، اطلاعات ، جدید شهر زنجان ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال ، مدل فراکتال ، محاسبة بعد خودمتشابهی محلات

مجموعه کانتور در نظریه مجموعه | به زبان ساده

در ریاضیات و بخصوص نظریه مجموعه ها، مجموعه کانتور (Cantor Set) از اهمیت زیادی برخوردار است. «توپولوژی نقطه-مجموعه» (Point-set Topology) در بسیاری از موارد وام گرفته از مجموعه کانتور است. از این لحاظ در این نوشته از مجله فرادرس به بررسی مجموعه کانتور در نظریه مجموعه‌ها پرداختیم.

به منظور آشنایی با مجموعه کانتور بهتر است ابتدا نوشتارهای دیگر مجله فرادرس در این زمینه، مانند تابع کانتور و خصوصیات آن و مجموعه بورل در نظریه اندازه | به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن مطالب عدد اصلی مجموعه یا کاردینالیتی — به زبان ساده و فضای توپولوژیک در ریاضیات — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

مجموعه کانتور در نظریه مجموعه

مجموعه کانتور (Cantor Set) مجموعه‌ای از نقاط است که روی یک قطعه خط قرار گرفته و دارای ویژگی‌های قابل توجه و عمیقی هستند. این مجموعه اولین بار توسط «جان اسمیت» (Henry John Stephen Smith) ریاضیدان ایرلندی، در سال 1874 مورد بررسی قرار گرفت ولی بعدها توسط ریاضیدان آلمانی، «کئورگ کانتور» (George Cantor) در سال ۱۸۸۳ در مقاله‌ای ارزیابی شده و خصوصیات جالب توجه آن مرور و بعضی از قضیه‌های مرتبط با آن اثبات گردید.

هر چند کانتور روش ایجاد مجموعه کانتور را کاملا انتزاعی شرح داده است ولی روش معمول آن، تقسیم پاره خط به سه بخش و برداشتن بخش وسط در هر بار تقسیم‌بندی است. این کار تکرار شده تا به کوچکترین بخش‌ها روی پاره خط برسیم.

این ایده تقسیم‌بندی پاره خط به سه بخش، باعث شده که بتوان مجموعه کانتور را به کمک مجموعه‌ای از «سه تایی‌های کانتور» (Cantor Ternary Set) معرفی کرد. روال تقسیم و حذف در مجموعه کانتور تا جایی ادامه پیدا می‌کند که مفهوم «مجموعه کامل» (Perfect Set) که در هیچ کجا چگال (Nowhere Dense) نیست، ادامه پیدا می‌کند.

در تصویر متحرک ۱، مجموعه کانتور را مشاهده می‌کنید. هر چه به این مجموعه نزدیک‌تر شویم، باز هم خودش را تکرار می‌کند. از این نظر، مجموعه کانتور، شبیه یک فراکتال (Fractal) عمل می‌کند. در تصویر زیر، هر عضو این مجموعه، توسط خطوط عمودی نمایش داده شده است.

تصویر ۱: نمایش مجموعه کانتور با زوم کردن به اجزای آن

ساختار مجموعه کانتور

همانطور که گفته شد، مجموعه کانتور ($$\cal$$) از تکرار تقسیم‌بندی یک پاره خط به سه بخش و حذف بخش میانی حاصل می‌شود. بازه $$[0,1]$$ را در نظر بگیرید. اگر این پاره خط را به سه بخش مساوی تقسیم کنیم، بازه‌هایی به شکل $$[0,\frac]$$، $$(\frac,\frac)$$ و $$[\frac,1]$$ حاصل می‌شود. با حذف بخش وسطی، خواهیم داشتم:

حال هر یک از این بخش‌ها را هم به سه قسمت تقسیم کرده و بخش میانی هر یک را حذف می‌کنیم.

این عمل را بی‌نهایت بار تکرار می‌کنیم. به طوری که در $$n$$امین مرحله مجموعه $$\cal$$ به شکل زیر معرفی خواهد شد.

به این ترتیب، مجموعه سه‌تایی کانتور، شامل همه نقطه‌های بازه $$[0,1]$$ است که حذف نشده‌اند. در هر یک از گام‌ها، $$ <\mathcal >_n$$‌ها با یکدیگر اشتراک‌هایی دارند. اشتراک این مجموعه‌ها، مجموعه کانتور نهایی ($$\cal$$) را تشکیل می‌دهد.

در تصویر ۲، گام‌های ایجاد مجموعه کانتور تا شش مرحله نمایش داده شده.

تصویر ۲: مجموعه کانتور پس از شش گام

با استفاده از ایده «تبدیل خود-مشابهت» (Self-similarity Transformation)، می‌توان روابط زیر را برای مجموعه کانتور نوشت:

به این ترتیب فرمول بسته برای مجموعه کانتور ساخته شده که به شکل زیر خواهد بود.

واضح است که قطعه‌های میانی حذف شده نیز فرمی به صورت $$ >>,>>\right)>$$ خواهند داشت، که از میان فاصله بسته $$ >>,>>\right] = \left[>>,>>\right]>$$ حذف شده است. به این ترتیب مجموعه کانتور را می‌توان به شکل زیر برحسب این فاصله‌ها، مشخص کرد.

روال حذف بخش دوم از تقسیم و ادامه تقسیم بندی، یک مثال از قانون تقسیم متناهی است. همانطور که در تصویر ۴ مشاهده می‌کنید، تقسیم‌بندی‌ها و حذف بخش میانی، تشکیل یک «رشته فراکتال» (Fractal String) را می‌دهد.

تصویر ۴: مجموعه کانتور و نمایش آن بوسیله یک رشته فراکتال

بیان مجموعه کانتور بوسیله نمایش اعداد

از نظر مجموعه اعداد می‌توان مجموعه کانتور را به نحوه نمایش اعداد اعشاری برمبنای ۳ مرتبط دانست. اعداد حقیقی در بازه $$[0,1]$$ را در نظر بگیرید که به پایه (Base) یا مبنای ۳ نوشته شده‌اند و برای نمایش آن‌ها لزومی به رقم ۱ در نمایش آن عدد برمبنای ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال ۳ نیست. در حقیقت هر عدد برمبنای ۳، شامل ارقام ۰ و ۱ و ۲ است. توجه داشته باشید که با حذف رقم ۱، انگار که بخش میانی آن را حذف کرده‌ایم.

همانطور که در تصویر ۴ مشاهده می‌کنید، یک نقطه در مجموعه کانتور، یک محل یا مسیر منحصر به فرد در نمودار را به خود اختصاص داده است. عمق این درخت باینری (Binary Tree)، بی‌نهایت است. در هر بار تفکیک یا تقسیم، با توجه به حذف بازه میانی، ممکن است جهت حرکت به سمت راست یا چپ باشد. حرکت به سمت راست را با ۲ و حرکت به سمت چپ را با ۰ نمایش می‌دهیم. به این ترتیب اگر با جایگزینی مقادیر ۲ با ۱، رشته عددی جدیدی ایجاد کنیم، در حقیقت یک نگاشت یک به یک و پوشا بین مجموعه کانتور و این درخت باینری بوجود خواهد آمد.

یک تناقض شیرین

روند حذف قسمت میانی و تقسیم‌بندی تکراری بازه $$[0,1]$$ را در قسمت ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال قبلی و البته به کمک روابط گفته شده، مشخص کردیم. با توجه به طول یا اندازه (Measure) قسمت‌های حذف شده در هر مرحله، می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

واضح است که رابطه بالا یک تصاعد یا «دنباله هندسی» (Geometric Progression) را نشان می‌دهد. این مجموع برابر با ۱ است. از آنجایی که کل طول بازه نیز برابر با ۱ بوده، به نظر می‌رسد که مجموع طول بخش‌های حذف شده با طول کل فاصله برابر است. به این ترتیب با کمال تعجب به این نتیجه می‌رسیم که هیچ بخشی از قسمت‌های باقی مانده وجود ندارد که طولی بیش از صفر داشته باشد. این امر به نظر یک تناقض می‌رسد.

از طرفی با توجه به روالی که برای حذف کردن نقطه‌ها در نظر گرفتیم، مشخص است که نقاط مرزی فاصله حذف شده، باید در مجموعه باقی مانده باشند. زیرا فاصله‌های حذف شده، به صورت فاصله‌های باز یا مجموعه‌های باز (Open Sets) بودند که شامل نقاط مرزی نیستند. این امر نشان می‌دهد که مجموعه کانتور، یک مجموعه تهی نیست و در اصل شامل بی‌نهایت نقطه است که به صورت تک نقطه (با طول‌هایی برابر با صفر) ظاهر شده‌اند. به این ترتیب تناقض برطرف می‌شود زیرا مجموعه کانتور شامل اعضایی است که اندازه‌ای برابر با صفر دارند.

تصویر ۳- استفان اسمیت

در ادامه به بررسی چند قضیه در مورد مجموعه کانتور خواهیم پرداخت.

قضیه ا در رابطه با مجموعه کانتور

در این قضیه نشان می‌دهیم که مجموعه کانتور شامل هیچ زیرفاصله‌ای از $$[0,1]$$ نیست. در حقیقت این قضیه بیانگر صفر بودن طول اعضای مجموعه کانتور است.

اثبات: فرض کنید $$[a,b] \subset [0,1]$$ یک بازه اختیاری در فاصله ۰ تا ۱ باشد. نشان می‌دهیم که این زیرفاصله در مجموعه کانتور حضور ندارد یا به بیان دیگر زیر مجموعه‌ای از مجموعه کانتور نیست.

می‌توان مقدار $$a$$ و $$b$$ را با توجه به ویژگی اعداد اعشاری به صورت زیر بر مبنای ۳ نمایش داد.

با توجه ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال به تعریفی که برای اعداد و اعضای مجموعه کانتور بیان کردیم، اگر بعضی از ارقام $$a_i$$ برابر با ۱ باشند، عدد $$a$$ درون مجموعه کانتور $$\cal$$ نیست. همین وضعیت نیز برای عدد $$b$$ وجود دارد. به همین علت آخرین رقم اعداد $$a$$ و $$b$$ را با رقم ۱ بیان می‌کنیم تا مطمئن شویم که در مجموعه کانتور حضور ندارند.

حال $$k$$ را کوچکترین اندیسی در نظر بگیریم که در آن $$a_k \neq b_k$$. به این ترتیب برای مجموعه کانتور باید $$a_k =0 , b_k =2$$ باشد. در نتیجه

$$ \large 0.a_1a_2a_3\cdots a_1_3 \in [a,b] $$

به این ترتیب نتیجه می‌گیریم که $$[a,b]$$ زیرمجموعه $$\cal$$ نیست.

قضیه ۲ در رابطه با مجموعه کانتر

مجموعه کانتور ناشمارا (Uncountable) است.

اثبات: تابع $$f$$ را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$ \large f : > \rightarrow [0,1] $$

که برای عدد $$x = 0.x_1x_2x_3\cdots_3$$ متعلق به مجموعه کانتور $$\cal$$ به شکل زیر محاسبه می‌شود.

$$ \large f(x) = 0 .(x_1/2)(x_2/2)(x_3/2) \cdots _2 $$

به بیان دیگر تابع $$f$$ بست سه گانه $$x$$ را به شکلی تغییر می‌دهد که رقم ۲ به ۱ تبدیل شده و عدد به مبنای ۲ درمی‌آید. می‌توان نشان داد که چنین تابعی یک تابع یک به یک و پوشا است در نتیجه معکوس‌پذیر است. از آنجایی که برای هر عضو دلخواه از بازه $$[0,1]$$ مثل $$y$$ داریم:

$$ \large y = f(0.(2y_1)(2y_2)(2y_3) \cdots_3) = y $$

بطوری که $$y = 0.y_1y_2y_3\cdots_2\in [0,1]$$. حال در نظر بگیرید که مجموعه $$\cal$$، شمارا است و اعضای آن را به صورت زیر در نظر بگیرید.

برای هر $$y \in [0,1]$$، تابع $$g(y)$$ را برابر با اندیس $$j$$ از عنصر $$c_j$$ فرض کنید که برای آن $$f(c_j) = y $$.

به این ترتیب می‌توان دنباله‌ای به شکل $$\_$$ در نظر گرفت که برای هر $$y \in [0,1]$$ داشته باشیم $$d_g(y) = y$$. این موضوع یک تناظر یک به یک بین مجموعه اعداد طبیعی و فاصله $$[0,1]$$ ایجاد می‌کند که نشان می‌دهد بازه $$[0,1]$$، شمارا است، که تناقض محسوب می‌شود؛ زیرا می‌دانیم در این بازه، ناشمارا عدد، وجود دارد.

خصوصیات و ویژگی‌های مجموعه کانتور

با توجه به نحوه ساخت مجموعه کانتور، ویژگی و خصوصیات جالبی برای این مجموعه وجود دارد که در ادامه این متن به چند نمونه از آن‌ها خواهیم پرداخت.

عدد اصلی یا کاردینالیتی مجموعه کانتور

همانطور که مشخص شد، بی‌اندازه نقطه در مجموعه کانتور در بازه $$[0,1]$$ وجود دارد. عدد اصلی برای مجموعه $$\cal$$ برابر با $$2^$$ است. البته می‌دانیم که مجموعه نقاط انتهایی بازه‌های حذف شده، شمارش‌پذیر هستند ولی تعداد اعداد در مجموعه کانتور که نقطه انتهای فاصله‌ها نیستند، شمارش‌ناپذیر است.

همانطور که گفته شد، در مجموعه کانتور، هیچ فاصله‌ای با اندازه یا طول صفر وجود ندارد. این ویژگی را در مجموعه اعداد گنگ نیز می‌توان در نظر گرفت با این تفاوت که مجموعه اعداد گنگ، چگال (Dense) در هر بازه هستند ولی مجموعه اعداد کانتور در هیچ فاصله‌ای، چگال نیست.

نکته: یک زیر مجموعه $$A$$ از فضای توپولوژیک $$X$$، چگال یا فشرده در $$X$$ است اگر برای هر نقطه $$x \in X$$ یک همسایگی شامل $$x$$ وجود داشته باشد که حداقل شامل یک نقطه باشد. به بیان دیگر، اشتراک $$A$$ با هر زیر مجموعه باز غیر تهی از $$X$$، ناتهی باشد.

هم‌-شبیه در مجموعه کانتور

مجموعه کانتور، یک الگو و طرح برای ایجاد ساختار فراکتال‌ها است. مجموعه کانتور دارای خاصیت «هم‌-شبیه» (Self-similar) است. به این معنی که هر مجموعه کانتور با کپی خود برابر است. این امر نشانگر آن است که هر مجموعه کانتور با تبدیل‌های خود-مشابهت راست ($$T_R$$) و چپ ($$T_L$$) خود برابر است.

$$ \large T_L(x) = x /3 $$

$$ \large T_R (x) = (2 + x) /3$$

پس مجموعه کانتور نسبت به تبدیل هم‌ریخت،‌ ناوردا (Invariant) است.

با تکرار دوباره تشکیل تبدیلات $$T_L$$ و $$T_R$$ می‌توان یک درخت باینری نامتناهی را به تصویر بکشد. در این درخت، هر گره، ممکن است منشاء یک زیر درخت به سمت چپ یا راست باشد.

اندازه و فضای احتمال

به مجموعه کانتور می‌توان به چشم دنباله‌های باینری از گروه‌های فشرده (Compact Group) نگریست. به این ترتیب می‌توان آن را به شکل یک «اندازه هار» (Haar Measure) در نظر گرفت. در صورتی که این اندازه را نرمال کرده و در بازه ۰ تا ۱ قرار دهیم، دارای خصوصیات یک تابع احتمال خواهد بود و می‌توان آن را به عنوان یک مدل احتمال برای پرتاب بی‌نهایت بار یک سکه در نظر گرفت.

از منظر نظریه اندازه لبگ، مجموعه کانتور، یک مثال از مجموعه‌ای است که دارای ناشمارا عضو بوده ولی اندازه آن صفر است.

خصوصیات عددی اعضای مجموعه کانتور

اگر اعضای مجموعه کانتور را به صورت اعداد در بازه ۰ و ۱ در نظر بگیریم، واضح است که:

• هر عدد در فاصله $$[0,2]$$ توسط مجموعه دو عدد کانتور،‌ قابل نمایش است.
• بین هر دو عدد کانتور، حتما یک عدد غیرکانتور، وجود دارد.

ذرات کانتور

اگر مجموعه کانتور را در حالت چند بعُدی تصویر کنیم، حاصل یک مجموعه شامل «ذرات کانتور» (Cantor Dust) خواهد بود. به این ترتیب اگر ضرب دکارتی مجموعه کانتور در خودش را در نظر بگیریم، یک فضای کانتور حاصل می‌شود.

تصویر ۵: نمایش یک مکعب کانتور و تبدیل آن به ذرات کانتور

مشابه مجموعه کانتور، ذرات کانتور نیز دارای اندازه صفر هستند. مشابه ذرات کانتور، «فرش کانتور» (Cantor Carpet) نیز در حالت دو بعدی ساخته می‌شود که در آن هر مربع به ۹ بخش مساوی تقسیم شده و بخش میانی آن حذف می‌شود. این تقسیم‌بندی ادامه می‌یابد. در تصویر ۶، نمونه‌ای از فرش کانتور که گاهی به آن «فرش سیرپینکسکی» (Sirepinkski Carpet) نیز گفته می‌شود،‌ نمایش داده شده است.

تصویر ۶: نمایش یک فرش دو بعدی از مجموعه کانتور

تاریخچه مجموعه کانتور

مجموعه کانتور در ابتدای امر توسط جورج کانتور به روشی کلی و انتزاعی تعریف گردید و از ساختار و تشکیل بازه‌های سه گانه فقط به صورت گذرا استفاده شد. ایده اصلی کانتور ایجاد یک مجموعه کامل بود که در هیچ‌ نقطه‌ای متراکم یا چگال نیست. همچنین در مقاله اصلی او، چندین ساختار متفاوت از مفهوم انتزاعی مرتبط با مجموعه کانتور ارائه گردید. این مجموعه در زمانی که کانتور آن را ابداع کرد ، انتزاعی و غیر قابل تصور، تلقی می‌شد. کانتور خود از کسانی بود که اعتقاد داشت این دنباله از تقسیمات سه گانه، همگرا نیستند. ولی مشخص شدن وجود نقطه همگرایی برای این دنباله از اعداد، او را در توسعه انتزاع و تئوری عمومی مجموعه‌های نامتناهی ترغیب کرد.

خلاصه و جمع‌بندی

در این متن به بررسی مجموعه کانتور در نظریه مجموعه‌ها و بخصوص نحوه تشکیل آن و همچنین بعضی از ویژگی‌های آن پرداختیم. همانطور که مشخص شد، این مجموعه هر چند دارای رفتار بسیار پیچیده‌ای است ولی روش ساخت آن بسیار ساده است. در اکثر اوقات به علت ویژگی‌های جالب مجموعه کانتور از آن برای ایجاد مثال نقض در بسیاری از قضیه‌ها یا تئوری‌های مرتبط با نظریه مجموعه‌ها استفاده می‌کنند. همچنین از ساختار مجموعه کانتور به منظور ایجاد ساختار فراکتال نیز می‌توان استفاده کرد. همانطور که خواندید، در فضاهای چند بعدی نیز مجموعه کانتور قابل تعریف و استفاده است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

پاورپوینت هندسه فراکتال در معماری (برخال)

شايد تا کنون بارها نام فراکتالها يا برخالها را شنيده باشيد؛ موجوداتي که به عنوان اصلي ترين بازيگران از نظريه آشوب شناخته مي شوند.
اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است .

ساختاری است که هر جزء از آن با کلش متشابه‌است.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند

براي آن که درک بهتري نسبت به فراکتالها داشته باشيم ، بد نيست نگاه مختصري به آشوبي بيندازيم ، که فراکتال ها فضاي هندسي آنها را تعريف مي کند

هندسه فرکتالی يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندی پيش پا به عرصه ظهور گذاشت.

واژه فرکتال در سال 1976 توسط رياضيدان لهستانی به نام بنوئيت مندلبرت وارد دنيای رياضيات گذاشت

پیچیدگی منظر شهری

از آنجا که زیستگاه انسانی هنگامی می تواند بیشترین مطلوبیت را برای انسان به همراه داشته باشد که نیاز های وی را در ابعاد مختلف زیست محیطی،اجتماعی،کالبدی و . برآورده سازد و چنانچه هر یک از این عوامل در محیط زندگی یک فرد فاقد کیفیات مطلوب باشد بر احساس و ادراک وی از فضا و در نتیجه بر سطح رضایت مندی او از محیط زندگی تاثیرگذار خواهد بود لذا مطالعه کیفیت منظر شهر ها تاثیر دوچندان در ایجاد این احساس دارد.

برای رهایی از بحران بی هویتی و جواب گویی به ابعاد روحی و روانی ساکنین لازم است که در طراحی منظر شهری از ویژگی های طبیعی،اجتماعی،کالبدی منحصر به فرد و از هندسه فراکتال که دارای ذات طبیعی است در ایجاد شهری با سیمای خاص استفاده کرد. در واقع طراحی منظر شهری بر اساس فراکتال موجب سرزندگی شهر و ارتقاء کیفیت فضای شهری می شود و بستر مناسبی برای شکل گیری حس تعلق مکان در ساکنین شهر است و در ادامه می تواند تمایل ماندگاری شهروندان را در شهر افزایش دهد. از طرفی کیفیت بسیار ضروری که در همه شهرهای زنده مشترک است پیچیدگی سازمان یافته است. معیار پیچیدگی به معنای هماهنگی،تنوع و ایجاد وحدت در مناظر شهری است. در واقع این معیار باعث تحریک حس بصری و ارتقاء کیفیت فضا خواهد شد. از ویژگی های فراکتال پیچیدگی و غیر قابل پیش بینی بودن است که استفاده از این قابلیت ها می تواند شهر را به یک رویداد هیجان انگیز برای ساکنین تبدیل کند و آن را از یکنواختی در آورد. شهرهای زنده فی نفسه ویژگی فراکتالی دارند و این ویژگی در کلیه سیستم های زنده مشترک است. با بعد و ریتم فراکتالی می توانیم الگوهایی برای طراحی منظر پیشنهاد دهیم در حال حاضر عدم طراحی فضاهای موجود و بی توجهی به ذات فراکتالی که در تمام سیستم های زنده موجود است یکی از مشکلات بی هویتی و غیر قابل استفاده بودن مناظر شهری می باشد. می توانیم نظم پنهانی همراه با خود تشابهی فراکتالی در منظر بدست آوریم و به نیاز انسان که دارای خاصیت فراکتالی است پاسخ دهیم.

کلید واژه ها

نحوه استناد به مقاله

در صورتی که می خواهید به این مقاله در اثر پژوهشی خود ارجاع دهید، می توانید از متن زیر در بخش منابع و مراجع بهره بگیرید :

در داخل متن نیز هر جا به عبارت و یا دستاوردی از این مقاله اشاره شود پس از ذکر مطلب، در داخل پرانتز، مشخصات زیر نوشته شود.